El topónimo Apategi

 Hay caseríos de nombre Apategi en Mutriku/Motrico y en Zestoa/Cestona. En Mutriku hay además topónimos derivados, los caseríos Apategiberri y Apategizar. Por último en Agurain/Salvatierra (Álava) hay un manantial llamado Apategi.
Hay testimonios antiguos en la web Dokuklik, donde se recogen los registros sacramentales de la comunidad autónoma vasca. En estos documentos aparecen los registros de bautismo, matrimonio y defunción y desde mediados del siglo XVI hay gente con el apellido Apategi:

Por tanto, el topónimo ha estado 500 años sin variar y es muy posible que sea bastante anterior. En Apategi habría dos elementos, el último es el sufijo -tegi 'lugar (cubierto)' y en la parte inicial puede estar la palabra apate:

apat(e).
Abad (< lat. abbatem). Se encuentra sobre todo en la toponimia: Apatamonasterio en Vizcaya, Aphat, Aphataréna arroyos de Baja Navarra, Aphat-Ospital en la misma región (en 1186 Hospitale et oratorium de Apate); v. tbn. Arzam 108: Oratorium de Apate (1194), Sancho Apate (1360) y Pedro de Çuaçti Comendador de Apathea (1257). Hay tbn. Apatenea en Navarra, nombre de una casa. Con todo, en Etxba Eib, s.v. apata, figura como voz corriente: komentu artako apata, jakintsua ei zan. v. abat, apatia.

A tenor de la etimología que se propone, hubo una haplología, que ocurre cuando dos sílaban similares o iguales pasan a estar al lado y una de ellas desaparece: apate + -tegi > *Apatetegi > Apategi.
La etimología puede ser válida para los topónimos guipuzcoanos, al tratarse de edificaciones, pero el topónimo alavés es un manantial, por lo que parece complicado que nombrase a la vivienda de una persona. Con todo, no es imposile que anteriormente hubiera en aquel lugar una casa, que luego desapareció. Hay otra posible explicación, como apate + hegi 'ladera', similar a la anterior y que parece artificiosa. Otro análisis sería como apa-, variante de derivación de apo 'sapo' + -tegi, es decir, 'lugar de sapos'. Es sabido que esos animales abundan en zonas con agua. No hay completa seguridad con el topónimo alavés, pero con los otros no parece haber ningún obstáculo.