El topónimo Paternasoloa

 Este topónimo alavés se conoce por un testimonio, de comienzos del siglo XVIII, y aparece en el libro de Gerardo Lopez de Gereñu Toponimia alavesa, seguido de Mortuorios o despoblados y Pueblos alaveses:

PATERNASOLOA, 1704, labrant o de Argandoña.

El top nimo tendría dos elementos, sin contar el artículo, al final la palabra soro 'heredad' y el antropónimo femenino Paterna, que estaría también en el topónimo Paternarana. Es interesante que en una zona no muy grande haya tres topónimos formados con Paterna o Paderna: Paternarana, Paternasoloa y Valdepaderna, este último romance. Esto mostrar a la vitalidad de este antropónimo en esa zona.

El topónimo Paternarana

 Paternarana es un paraje de Artatza, en Navarra. El topónimo no ha cambiado en los últimos 300 años, como muestra el testimonio más antiguo, que es de finales del siglo XVII:

patternarana (1693)
patternarana (1764)
paternarana (1994)

En la página web también hay información etimológica, uniéndolo con el topónimo Paternain. El segundo elemento sería haran 'valle', sin contar el artículo. El topónimo no sería Paternus, que posiblemente es la base del topónimo Paternain, sino Paterna, su forma femenina, la misma que estaría en el topónimo Valdepaderna, aquí en su forma romance, como muestra la oclusiva /d/. Además, este último topónimo podría ser la forma romance de Paternarana, con el val- inicial que es la palabra valle.

El topónimo Valdepaderna

 Valdepaderna es un barranco de Oyón.
El topónimo es de origen romance y contiene tres elementos, val- es una forma contracta de valle, después está la preposición de y en la parte final el antropónimo Paterna. En este blog hay otro topónimo con la misma estructura, Valdemollina, que contiene el raro antropónimo Moñina.
Mikel Belasko en la entrada sobre el topónimo Paternain menciona algunos topónimos formados a partir de dicho antropónimo:

Menéndez Pidal cita un numeroso grupo de nombres de localidades en los que forma parte el citado nombre de persona [Paternus]: Paternoy y Paternué (Huesca), Villapadierna (León), Padierna (Asturias), Paderna (Lugo), Paterna (Almería, Huelva, Cádiz, Albacete), Padierno (Salamanca), Padiernos (Salamanca, Ávila), Paderne (Oviedo y Galicia, varios), Padiérníga (Santander), Trespaderne (Burgos) y Maderne (Santander). En Francia se encuentran Padern (Paternum en 805) y Pernes (Paternis 994) con el mismo origen.

En el caso del topónimo alavés, se formaría desde el antropónimo femenino Paterna, donde se ha sonorizado la oclusiva intervocálica, lo que es normal en castellano.

Actualización (29-11-2024):
En la entrada no se muestra ningún testimonio antiguo pero en el libro de Gerardo Lopez de Gereñu Toponimia alavesa, seguido de Mortuorios o despoblados y Pueblos alaveses hay un posible testimonio de finales del siglo XVII:

BALDEPADIERNA, 1697, labrantío de Labraza.

Oyón y Labraza son pueblos colindantes, así que lo más probable es que se trate del mismo topónimo. La única diferencia es que donde la forma actual muestra la vocal /e/, la antigua tiene un diptongo /ie/. No se trata de un problema ya que muchos de los topónimos listados por Mikel Belasko contienen el mismo diptongo, como aparece en Villapadierna.