El topónimo Gazeaga

 Gazeaga es topónimo occidental, los tres testimonios recogidos son de esa zona. En Gautegiz-Arteaga en un caserío, en Arrasate/Mondragón también es un caserío y, por último, en Amorebieta Etxano, en vasco Zornotza, se conocen los caseríos Gazeagabekoa y Gazeagagoikoa.
Hay testimonios antiguos de los topónimos vizcainos en el libro Nombres de familia y oicónimos en las fogueraciones de Bizkaia de los siglos XVII y XVIII:

Gaceaga [N, TO]
Gaceaga (la casa de) [Boroa (cofradia de)], Amorebieta, a.1796, FogVizcayaMs.
Gaceaga (la caseria de), Gautiguiz de Arteaga, a.1641, FogVizcayaMs.
Gaseaga (la casa de) [Boroa (cofradia de)], Amorebieta, a.1704, FogVizcayaMs.
Gazeaga (la caseria de) [Boroa (cofradia de)], Amorebieta, a.1745, FogVizcayaMs.
Gaceaga_Beazcoa (la casa de) [Canala (uarrio de)], Gauteguiz de Arteaga, a.1799,
FogVizcayaMs.
Gaceaga_Ueazcoa (la casa de), Gauteguiz de Arteaga, a.1796, FogVizcayaMs.
Gazeaga_Ueascoa (la casa de) [Gauteguiz (uarrio de)], Gauteguiz de Arteaga, a.1704,
FogVizcayaMs.
Gazeaga_Veazcoa (la caseria de), Arteaga, a.1745, FogVizcayaMs.
Gazeaga_Gojeazcoa (la casa de) [Canala (uarrio de)], Gauteguiz de Arteaga, a.1799,
FogVizcayaMs.
Gazeaga_Gojeazcoa (la caseria de), Arteaga, a.1745, FogVizcayaMs.
Gazeaga_Goxeascoa (la casa de), Gauteguiz de Arteaga, a.1796, FogVizcayaMs.
Gazeaga_Goxeascoa (la casa de) [Gauteguiz (uarrio de)], Gauteguiz de Arteaga, a.1704, FogVizcayaMs.

Gaceaga [N, NO]
Gaseaga presuitero (don) (Pedro de), Ybarruri, a.1704, FogVizcayaMs.
Gaseaga uezino de esta anteiglesia (Francisco de), Gauteguiz de Arteaga, a.1704, FogVizcayaMs.
Gazeaga (Francisco de) [Urizar_Andicoa (la casa de)] [Gauteguiz (uarrio de)], Gauteguiz de Arteaga, a.1704, FogVizcayaMs.
Gazeaga uiuda (Maria de), Larrabezua, a.1704, FogVizcayaMs.
Gaçeaga (Juan de), Gautiguiz de Arteaga, a.1641, FogVizcayaMs.

Los testimonios del Gazeaga de Zornotza son similares, la única diferencia está en la silbante, ya que aparecen <s> y <c>. El primer testimonio es destacable ya que está como garzeaga, en el año 1658. Los siguientes testimonios son de comienzos del siglo XVIII y no aparece de nuevo la vibrante. Queda un lugar para la duda, si el primero es correcto, no tendría el mismo análisis que los otros topónimos mencionados.
Los testimonios de Arrasate son anteriores, de finales del siglo XVI y aparecen en el libro Arrasateko toponimia, p. 128:

El topónimo no cuenta con muchas variantes, hay alternancia s/z en la silbante y también hay alternancia vocálica e/i, que no son importantes para la etimología.
El topónimo tendría tres elementos, gatz 'sal' + -tza sufijo abundancial + -aga, sufijo pluralizador. El único cambio es la disimilación vocálica, aa > ea, que es un fenómeno automático en el euskera occidental. El topónimo Amatea sería resultado también de esa disimilación, si en la base estaba el antropónimo Amata.
Los topónimo Gatzaga son conocidos en territorios vascos, pero Gazeaga es diferente, ya que se añadió el sufijo -tza.

El topónimo Gazume

 Gazume es un paraje y monte en Régil/Errezil, en Gipuzkoa.
Al no disponer de testimonios antiguos, la etimología que aquí se propone no es totalmente segura, aunque los elementos y cambios propuestos sean comunes.
El topónimo constaría de dos elementos, gatz 'sal' y une 'espacio, lugar'. El único cambio propuesto sería el de un > um, que ocurre poco frecuentemente pero que es adecuado para explicar el topónimo. Como en tantos otros casos,la explicación de K. Mitxelena, en el trabajo El elemento latino-románico en la lengua vasca:

322. [...] zamau (y zabau) 'mantel', ziape (R ziape), 'mostaza', etc. Dialectalmente puede restablecerse la oclusión oral, con ñ detrás de vocal anterior (liñu 'lino', frente a liho, Sal. ligu) o m detrás de u (occ. kuma 'cuna', pero S khüña); lo mismo puede ocurrir tras diptongo en otro tiempo nasal: bedei(n)katu 'bendecido, bendito', luka(r)ika, lukhai(n)ka 'longaniza' < lucanica.

Esta etimología tiene un sonido que no aparece en la pronunciación actual, la africada aparece como fricativa. Se trata de una situación normal, en ocasiones la pronunciación del topónimo recién formado ha variado con el paso de tiempo, en ocasiones por la influencia de la forma escrita.
Para conocer la razón del nombre, es probable que en algún lugar del paraje hubiese alguna zona con alta concentración de sal, elemento muy apreciado en épocas antiguas. Quizás un examen más profundo del lugar pueda dar con la clave del nombre.