El topónimo Basabilbaso

 Basabilbaso es un caserío de Lezama, con el topónimo derivado Basabilbasobarri, un caserío. Tiene en el nomenclátor oficial testimonios antiguos, como Basabilbaso (1656). Del siglo XX es la variante Basibilbaso (1956) y la forma oral actual es basilbaso (2002).
En el siglo XVIII el topónimo seguía completo en el libro Nombres de familia y oicónimos en las fogueraciones de Bizkaia de los siglos XVII y XVIII:

Basabilbaso [N, TO]
Basabilbaso (la caseria de), Lezama, a.1745, FogVizcayaMs.
Basabilbaso (la casseria de), Lezama, a.1704, FogVizcayaMs.
Basauilbaso+) (Domingo de Urregoytia administrador de la casa de), Lezama, a.1796, FogVizcayaMs.
Basauilbaso (la casa de) [Basalbeitia y Goytiosle (barrio de/primer partido)], Lezama, a.1796, FogVizcayaMs.

Además de topónimo, también es apellido y se ha hecho una búsqueda en la web Dokuklik, donde aparecen los registros sacramentales de la comunidad autónoma vasca. En estos documentos se muestran los registros de bautismo, matrimonio y defunción y hay testimonios desde la mitad del siglo XVI:

El topónimo tiene tres elementos, al final el nombre baso 'bosque' y más adelante la palabra compuesta basa-bil, con basa-, forma en derivación de baso y *bil, raíz de biribil 'redondo'. De hecho, Basabil existió en  Lezama como muestra el libro mencionado:

Basabil [N, TO]
Basabil (la casseria de), Lezama, a.1704, FogVizcayaMs.
Basabil_Beytia (la casseria de), Lezama, a.1704, FogVizcayaMs.
Vasabilbeitia (la caseria de), Lezama, a.1745, FogVizcayaMs.
Basabil_Goicoechea (la caseria de), Lezama, a.1745, FogVizcayaMs.

Por tanto,una vez hubo un bosque redondo llamado Basabil y después, en ese lugar hubo un bosque que se llamó Basabilbaso. Seguramente hay pocos topónimos en los que aparezcan las dos variante de un nombre, el completo y el alomorfo, usado en derivación.